第五章：特征值与矩阵对角化学习导读

$Ax=\lambda x,\ x\ne0\iff (A-\lambda I)x=0,\ x\ne0$。

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$；$\dim E_\lambda=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$。

$\operatorname{tr}A=\sum_{j=1}^n\lambda_j,\quad\det A=\prod_{j=1}^n\lambda_j$（复数域，按代数重数）。

$Ax=\lambda x\Rightarrow f(A)x=f(\lambda)x$（多项式 $f$）；若 $A$ 可逆，$A^{-1}x=\lambda^{-1}x$。

$B=P^{-1}AP,\quad\det P\ne0$。

$AP=PD\iff P^{-1}AP=D$；$P=(x_1,\ldots,x_n),\ D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$。

在 $F$ 上全部根均属于 $F$ 时：可对角化 $\iff\dim E_\lambda=m_\lambda$（每个根的代数重数 $m_\lambda$）。

$A=PDP^{-1}\Rightarrow A^k=PD^kP^{-1}$（整数 $k\ge0$）。

$A\in\mathbb R^{n\times n},\ A^T=A\Rightarrow \lambda_j\in\mathbb R$。

$Ax=\lambda x,\ Ay=\mu y,\lambda\ne\mu,\ A^T=A\Rightarrow x^Ty=0$。

$Q^TQ=I,\quad Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$。