第二章：矩阵学习导读

m×n 矩阵是 m 行 n 列的数表；aij 是第 i 行第 j 列的元素。只有行数与列数都相同，才是同型矩阵。

两个矩阵相等，须同型且所有对应元素相等。零矩阵也有尺寸，2×3 与 3×2 的零矩阵不相等。

转置把原来的行变成列，m×n 变成 n×m，元素值不变。方阵满足 Aᵀ=A 时称对称矩阵；实反对称矩阵满足 Aᵀ=-A，对角元为零。

单位矩阵主对角元为 1，其余为零；对角矩阵仅要求非对角元为零。矩阵是数表，行列式是由方阵元素按规则得到的数。

加减要求同型，数乘把每个元素都乘同一个数；二者统称矩阵的线性运算。

A 为 m×s，B 为 s×n 时 AB 为 m×n，元素由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应乘积之和得到。

乘法有结合律和分配律，但一般没有交换律与消去律。非零矩阵的乘积可能是零矩阵；在可乘条件下 E_mA=AE_n=A。

乘积转置需倒序：(AB)ᵀ=BᵀAᵀ。方阵才讨论这里的整数幂和行列式；同阶方阵满足 det(AB)=det(A)det(B)。

n 阶方阵 A 若存在同阶 B，使 AB=BA=E，就称 A 可逆，B 是唯一的逆矩阵 A⁻¹。

A 可逆当且仅当 det(A)≠0。伴随矩阵由代数余子式矩阵转置得到，A⁻¹=A*/det(A)。

同阶可逆矩阵的乘积可逆，逆矩阵次序与原乘积相反；转置和求逆可以互换。k≠0 时，(kA)⁻¹=A⁻¹/k。

对抽象矩阵，可把给定多项式等式整理成 AΔ=ΔA=E 来证明可逆并识别逆矩阵；求得具体逆矩阵后用乘积为 E 复核。

分块用横线和纵线将大矩阵划成子矩阵；这是组织计算的方法，不改变原矩阵的元素。

同型矩阵使用相同分块法时，可逐块相加、数乘。AB 的分块计算要求 A 的列划分与 B 的行划分一致。

子块乘法仍遵守普通矩阵的尺寸和次序规则。分块转置时，块位置互换，同时每个子块都转置。

分块对角矩阵 diag(A₁,…,A_s) 中，对角块为方阵，非对角块为零；它可逆当且仅当每个对角块可逆，逆矩阵由各块的逆组成。

初等变换包括交换两行或两列、用非零数倍乘一行或一列、把某行或列的倍数加到另一行或列。它们都可逆。

单位矩阵经过一次初等变换得到初等矩阵。对 m×n 矩阵，行变换对应左乘 m 阶初等矩阵，列变换对应右乘 n 阶初等矩阵。

行阶梯形的零行在下，各非零行的首个非零元向右逐步移动；行最简形还要求首元为 1、其所在列其余元素为零。

若 A 可逆，将整个 [A|E] 仅用初等行变换化成 [E|B]，则 B=A⁻¹。同样的行变换可由 [A|C] 得到 [E|A⁻¹C]，用于解 AX=C。

矩阵的秩是非零子式的最高阶数；零矩阵规定秩为 0。非零矩阵不一定满秩。

初等变换不改变秩。把矩阵化为行阶梯形后，非零行数等于主元数，也等于秩。

m×n 矩阵的秩至多为 min(m,n)，转置不改变秩。n 阶方阵可逆当且仅当秩为 n。

秩为 r 只保证至少有一个 r 阶子式非零，不能说所有 r 阶子式都非零。含参数时应保留可能为零的主元，按参数值分情况。